Question

如圖，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)A（x₁，0），B（x₂，3）兩點(diǎn)，且x₁、x₂是方程x²+5x+6=0兩根（x₁＞x₂），拋物線頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P、M、O為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)解方程x²+5x+6=0求出x₁、x₂的值，就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①當(dāng)OA為邊時(shí)，根據(jù)E在x=-1上，能求出D的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可；②OA為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求出D和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，m²+2m），根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是方程x²+5x+6=0的兩根（x₁＞x₂），
解得原方程的兩根分別是：x₁=-2，x₂=-3，
∴A（-2，0），B（-3，3），
設(shè)拋物線的解析式為，y=ax²+bx+c，則

c=0 4a-2b=0 9a-3b=3

，
解得：

a=1 b=2 c=0

，
∴拋物線的解析式是y=x²+2x．

（2）∵y=x²+2x，
∴對(duì)稱軸為：x=-1，
①當(dāng)OA為邊時(shí)，
∵以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴DE∥AO，DE=AO=2，
∵E在對(duì)稱軸x=-1上，
∴D的橫坐標(biāo)是1或-3，
∴D的坐標(biāo)是（1，3）或（-3，3），此時(shí)E的坐標(biāo)是（-1，3）；
②當(dāng)AO是對(duì)角線時(shí)，則DE和AO互相平分，有E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-1，
由對(duì)稱性知，符號(hào)條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，即是頂點(diǎn)C（-1，-1），此時(shí)E（-1，1），
綜合上述，符合條件的點(diǎn)E共由兩個(gè)，分別是E（-1，3）或E（-1，1）．

（3）假設(shè)存在，設(shè)P（m，m²+2m），
∵B（-3，3），C（-1，-1），
∴OB²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△OBC是直角三角形，∠COB=90°，

OB

OC

=3，
∵以P、M、O為頂點(diǎn)的三角形和△BCO相似，
又∵∠COB=∠PMO=90°，
∴

PM

OM

=

OB

OC

=3，或

PM

OM

=

OC

OB

=

1

3

，
∴|

m2+2m

m

|=3，|

m2+2m

m

|=

1

3

解得：m=1或-5或-

5

3

或-

7

3

，
∴存在P點(diǎn)，P的坐標(biāo)是（1，3），（-5，15），（-

5

3

，-

5

9

），（-

7

3

，

7

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運(yùn)用．