【題目】如圖,以點(diǎn)P(-1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(BC的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(AD的下方),AD=,將ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到MCB.

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)請?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時停止,設(shè)直線lCM交點(diǎn)為E,點(diǎn)QBE的中點(diǎn),過點(diǎn)EEGBCG,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.

【答案】1B﹣3,0),C1,0);(2)矩形,M的坐標(biāo)為(﹣2,);(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°

【解析】試題分析:(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

2)由于圓P是中心對稱圖形,顯然射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過點(diǎn)MMH⊥BC,垂足為H,易證△MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長,進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°,從而得到∠MBG=60°,進(jìn)而得到∠MQG=120°,所以∠MQG是定值.

試題解析:解:(1)連接PA,如圖1所示.∵PO⊥AD,∴AO=DO∵AD=,∴OA=點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣10),∴OP=1,∴PA==2,∴BP=CP=2∴B﹣3,0),C1,0);

2)連接AP,延長AP⊙P于點(diǎn)M,連接MB、MC.如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.四邊形ACMB是矩形.理由如下:

∵△MCB△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得,四邊形ACMB是平行四邊形.

∵BC⊙P的直徑,∴∠CAB=90°,平行四邊形ACMB是矩形.

過點(diǎn)MMH⊥BC,垂足為H,如圖2所示.

△MHP△AOP中,∵∠MHP=∠AOP∠HPM=∠OPA,MP=AP∴△MHP≌△AOP,∴MH=OA=,PH=PO=1,∴OH=2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣2);

3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變.

四邊形ACMB是矩形,∴∠BMC=90°∵EG⊥BO,∴∠BGE=90°∴∠BMC=∠BGE=90°

點(diǎn)QBE的中點(diǎn),∴QM=QE=QB=QG,點(diǎn)EM、BG在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示,∴∠MQG=2∠MBG∵∠COA=90°OC=1,OA=∴tan∠OCA==,∴∠OCA=60°,∴∠MBC=∠BCA=60°,∴∠MQG=120°,在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°

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2)若直線AEA點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(BDCE),其余條件不變,問BDDE、CE的關(guān)系如何?請直接寫出結(jié)果;

3)若直線AEA點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時(BDCE),其余條件不變,問BDDECE的關(guān)系如何?請直接寫出結(jié)果,不需說明理由.

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(1)求拋物線的解析式.

(2)設(shè)點(diǎn)M(m,n)為拋物線上的一個動點(diǎn),且在曲線PA上移動.

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間(含端點(diǎn))移動時,是否存在點(diǎn)M使△APM的面積為?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間(含端點(diǎn))移動時,求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點(diǎn)M的坐標(biāo).

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