【題目】九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件,設(shè)該商品的售價(jià)為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).
時(shí)間x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天銷售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
【答案】
(1)解:當(dāng)1≤x≤50時(shí),設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0),
∵y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)(0,40)、(50,90),
∴ ,解得: ,
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40;
當(dāng)50≤x≤90時(shí),y=90.
∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y= .
由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系,
設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù),且m≠0),
∵p=mx+n過點(diǎn)(60,80)、(30,140),
∴ ,解得: ,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x為整數(shù)),
當(dāng)1≤x≤50時(shí),w=(y﹣30)p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
當(dāng)50≤x≤90時(shí),w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
綜上所示,每天的銷售利潤w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是w=
(2)解:當(dāng)1≤x≤50時(shí),w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且1≤x≤50,
∴當(dāng)x=45時(shí),w取最大值,最大值為6050元.
當(dāng)50≤x≤90時(shí),w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w隨x增大而減小,
∴當(dāng)x=50時(shí),w取最大值,最大值為6000元.
∵6050>6000,
∴當(dāng)x=45時(shí),w最大,最大值為6050元.
即銷售第45天時(shí),當(dāng)天獲得的銷售利潤最大,最大利潤是6050元
(3)解:當(dāng)1≤x≤50時(shí),令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
當(dāng)50≤x≤90時(shí),令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:50≤x≤53 ,
∵x為整數(shù),
∴50≤x≤53,
53﹣50+1=4(天).
綜上可知:21+4﹣1=24(天),
故該商品在銷售過程中,共有24天每天的銷售利潤不低于5600元
【解析】(1)當(dāng)1≤x≤50時(shí),設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)圖形可得出當(dāng)50≤x≤90時(shí),y=90.再結(jié)合給定表格,設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n,套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,分段考慮其最值問題.當(dāng)1≤x≤50時(shí),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值;當(dāng)50≤x≤90時(shí),根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值,兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論;(3)令w≥5600,可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范圍,由此即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:如圖,分別以△ABC的兩邊AB和AC為邊向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于點(diǎn)P. 求證:∠ANC = ∠ABE.
應(yīng)用:Q是線段BC的中點(diǎn),連結(jié)PQ. 若BC = 6,則PQ = ___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足C,D分別在x軸的正、負(fù)半軸上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中點(diǎn),且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍,則k的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,延長CB至點(diǎn)F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,N,M,連接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的邊長;
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,連接AE,CD,AE與CD交于點(diǎn)M,AE與BC交于點(diǎn)N.
(1)求證:AE=CD;
(2)求證:AE⊥CD;
(3)連接BM,有以下兩個(gè)結(jié)論:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正確的有 (請寫序號,少選、錯(cuò)選均不得分).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.
(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若α為銳角,tanα= ,當(dāng)AE取得最小值時(shí),求正方形OEFG的面積.
(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí),直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為 :1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn),且B(1,0)
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如圖1,點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn),點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作y軸的平行線,交直線CF于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD的延長線上,連接QE.問:以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.
(1)b= , c= , 點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,向一個(gè)半徑為R、容積為V的球形容器內(nèi)注水,則能夠反映容器內(nèi)水的體積y與容器內(nèi)水深x間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是( 。
A.
B.
C.
D.
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