Question

有一塊三角形菜地，∠ABC=30°，AB=米，BC=10米，現(xiàn)在準(zhǔn)備在直線AC上安裝噴頭P，使其到AB的距離為1米，求CP的長度．

Answer 1

解：如圖，△ABC中，∠ABC=30°，AB=米，BC=10米，在直線AC上有一點P，P到AB的距離PD=1米．
過A點作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AB于F．
∵∠ABC=30度，
∴AE=AB=2，BE=6，
∴EC=BC-BE=4．
在△ABC中，用余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=28，
∴AC=2．
∵S_△ABC=BC•AE=AB•CF，
∴CF=5．
分兩種情況：
①當(dāng)點P在線段AC上時．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=，
∴CP=AC-AP=；
②當(dāng)點P在CA的延長線上時．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=，
∴CP=AC+AP=．
故所求CP的長度為或．
分析：首先利用余弦定理求出AC的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出AB邊上的高CF．由于噴頭P在直線AC上，所以分兩種情況：①點P在線段AC上；②點P在CA的延長線上．針對每一種情況，都可以根據(jù)△ADP∽△AFC，利用對應(yīng)邊成比例求出AP，進(jìn)而得出CP的長度．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式及余弦定理，P點的位置分情況討論是解題的關(guān)鍵．其中運用的余弦定理超出教材大綱要求，屬于競賽題型，有一定難度．