Question

在直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標．
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的？若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形OKPA是正方形．當⊙P分別與兩坐標軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結論；
（2）①連接PB，設點P（x，），過點P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，利用sin∠PBG=，列方程求x即可；
②求直線PB的解析式，利用過A點或C點且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯立，列方程組求滿足條件的M點坐標即可．
解答：解：（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四邊形OKPA是正方形．（2分）

（2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．
過點P作PG⊥BC于G．
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑）．
∴△PBC為等邊三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=．
sin∠PBG=，即．
解之得：x=±2（負值舍去）．
∴PG=，PA=BC=2．（4分）
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．（6分）
設二次函數解析式為：y=ax²+bx+c．
據題意得：
解之得：a=，b=，c=．
∴二次函數關系式為：．（9分）

②解法一：設直線BP的解析式為：y=ux+v，據題意得：
解之得：u=，v=-．
∴直線BP的解析式為：y=x-，
過點A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：．
解方程組：
得：；．
過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：．
∴0=．
∴．
∴直線CM的解析式為：．
解方程組：
得：；．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）

解法二：∵，
∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件．
延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴點M的縱坐標為．
又∵點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4．
∴點M（4，）符合要求．
點（7，）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）

解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴點M的縱坐標為．
即．
解得：x₁=0（舍），x₂=4．
∴點M的坐標為（4，）．
點（7，）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是由菱形、圓的性質，數形結合解題．