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在直角坐標系xOy中,已知點P是反比例函數(x>0)圖象上一個動點,以P為圓心的圓始終與y軸相切,設切點為A.
(1)如圖1,⊙P運動到與x軸相切,設切點為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運動到與x軸相交,設交點為B,C.當四邊形ABCP是菱形時:
①求出點A,B,C的坐標.
②在過A,B,C三點的拋物線上是否存在點M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的?若存在,試求出所有滿足條件的M點的坐標;若不存在,試說明理由.

【答案】分析:(1)四邊形OKPA是正方形.當⊙P分別與兩坐標軸相切時,PA⊥y軸,PK⊥x軸,x軸⊥y軸,且PA=PK,可判斷結論;
(2)①連接PB,設點P(x,),過點P作PG⊥BC于G,則半徑PB=PC,由菱形的性質得PC=BC,可知△PBC為等邊三角形,在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=,利用sin∠PBG=,列方程求x即可;
②求直線PB的解析式,利用過A點或C點且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯立,列方程組求滿足條件的M點坐標即可.
解答:解:(1)四邊形OKPA是正方形.
證明:∵⊙P分別與兩坐標軸相切,
∴PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四邊形OKPA是矩形.
又∵AP=KP,
∴四邊形OKPA是正方形.(2分)

(2)①連接PB,設點P的橫坐標為x,則其縱坐標為
過點P作PG⊥BC于G.
∵四邊形ABCP為菱形,
∴BC=PA=PB=PC(半徑).
∴△PBC為等邊三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=
sin∠PBG=,即
解之得:x=±2(負值舍去).
∴PG=,PA=BC=2.(4分)
易知四邊形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴A(0,),B(1,0),C(3,0).(6分)
設二次函數解析式為:y=ax2+bx+c.
據題意得:
解之得:a=,b=,c=
∴二次函數關系式為:.(9分)

②解法一:設直線BP的解析式為:y=ux+v,據題意得:
解之得:u=,v=-
∴直線BP的解析式為:y=x-,
過點A作直線AM∥BP,則可得直線AM的解析式為:
解方程組:
得:;
過點C作直線CM∥PB,則可設直線CM的解析式為:
∴0=

∴直線CM的解析式為:
解方程組:
得:;
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)

解法二:∵,
∴A(0,),C(3,0)顯然滿足條件.
延長AP交拋物線于點M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,

∴點M的縱坐標為
又∵點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4.
∴點M(4,)符合要求.
點(7,)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)

解法三:延長AP交拋物線于點M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,

∴點M的縱坐標為

解得:x1=0(舍),x2=4.
∴點M的坐標為(4,).
點(7,)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).(12分)
點評:本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是由菱形、圓的性質,數形結合解題.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

首先,我們看兩個問題的解答:
問題1:已知x>0,求x+
3
x
的最小值.
問題2:已知t>2,求
t2-5t+9
t-2
的最小值.
問題1解答:對于x>0,我們有:x+
3
x
=(
x
-
3
x
)2+2
3
2
3
.當
x
=
3
x
,即x=
3
時,上述不等式取等號,所以x+
3
x
的最小值2
3

問題2解答:令x=t-2,則t=x+2,于是
t2-5t+9
t-2
=
(x+2)2-5(x+2)+9
x
=
x2-x+3
x
=x+
3
x
-1

由問題1的解答知,x+
3
x
的最小值2
3
,所以
t2-5t+9
t-2
的最小值是2
3
-1

弄清上述問題及解答方法之后,解答下述問題:
在直角坐標系xOy中,一次函數y=kx+b(k>0,b>0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.
(1)用b表示k;
(2)求△AOB面積的最小值.

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如圖,在直角坐標系xOy中,正方形OCBA的頂點A,C分別在y軸,x軸上,點B坐標為(6,6),拋物線y=ax2+bx+c經過點A,B兩點,且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果動點E,F同時分別從點A,點B出發(fā),分別沿A→B,B→C運動,速度都是每秒1個單位長度,當點E到達終點B時,點E,F隨之停止運動,設運動時間為t秒,△EBF的面積為S.
①試求出S與t之間的函數關系式,并求出S的最大值;
②當S取得最大值時,在拋物線上是否存在點R,使得以E,B,R,F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出點R的坐標;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網在直角坐標系xoy中,函數y=4x的圖象與反比例函數y=
kx
(k>0)的圖象有兩個公共點A、B(如圖),其中點A的縱坐標為4過點A作x軸的垂線,再過點B作y軸的垂線,兩垂線相交于點C.
(1)求點C的坐標;
(2)求△ABC的面積.

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(2012•北京二模)已知:如圖,在直角坐標系xOy中,點A(8,0)、B(0,6),點C在x軸的負半軸上,AB=AC.動點M在x軸上從點C向點A移動,動點N在線段AB上從點A向點B移動,點M、N同時出發(fā),且移動的速度都為每秒1個單位,移動時間為t秒(0<t<10).
(1)設△AMN的面積為y,求y關于t的函數關系解析式;
(2)求四邊形MNBC的面積最小是多少?
(3)求時間t為何值時,△AMN是等腰三角形?

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(2012•鞍山三模)如圖,在直角坐標系xOy中,A、B是x軸上的兩點,以AB為直徑的圓交y軸于C,設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x2-mx+n.方程x2-mx+n=0的兩根倒數和為-4.
(1)求n的值;
(2)求此拋物線的解析式;
(3)設平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點,問是否存在此線段EF為直徑的圓恰好與x軸相切?若存在,求出此圓的半徑;若不存在,說明理由.

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