【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,OA=5,OA⊙O相交于點(diǎn)P,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C.
(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若,求⊙O的半徑和線段PB的長(zhǎng).
【答案】(1)AB=AC;(2)圓的半徑是3,線段PB的長(zhǎng)為.
【解析】
試題分析:(1)連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直的定義得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;
(2)延長(zhǎng)AP交⊙O于D,連接BD,設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,根據(jù)AB=AC推出52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,求出r,證△DPB∽△CPA,得出關(guān)于BP的比例式,代入求出即可.
解:(1)AB=AC,理由如下:
連接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)延長(zhǎng)AP交⊙O于D,連接BD,
設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,
則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,
AC2=PC2﹣PA2=(2)2﹣(5﹣r)2,
∴52﹣r2=(2)2﹣(5﹣r)2,
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直徑,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,
∴,
∴,
∴BP=,
答:圓的半徑是3,線段PB的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn),交邊AC于E點(diǎn),若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40cm,24cm,則AB= cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】幾何知識(shí)可以解決生活中許多距離最短的問(wèn)題.讓我們從書本一道習(xí)題入手進(jìn)行知識(shí)探索.
【回憶】
如圖,A、B是河l兩側(cè)的兩個(gè)村莊.現(xiàn)要在河l上修建一個(gè)抽水站C,使它到A、B兩村莊的距離的和最小,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)C的位置,并說(shuō)明理由.
【探索】
(1)如圖,A、B兩個(gè)村莊在一條筆直的馬路的兩端,村莊 C在馬路外,要在馬路上建一個(gè)垃圾站O,使得AO+BO+CO最小,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)O的位置,并說(shuō)明理由.
(2)如圖,A、B、C、D四個(gè)村莊,現(xiàn)建一個(gè)垃圾站O,使得AO+BO+CO+DO最小,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)O的位置,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a<b,下列式子不成立的是( )
A. a+1<b+1 B. 3a<3b C. -2a<-2b D. a<b+1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,3),B(2,4),C(3,5),D(4,6)其中不與E(2,-3)在同一個(gè)函數(shù)圖像上的一個(gè)點(diǎn)是( )
A. 點(diǎn)A B. 點(diǎn)B C. 點(diǎn)C D. 點(diǎn)D
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列敘述正確的是( )
A. 若|a|=|b|,則a=b B. 若|a|>|b|,則a>b
C. 若a<b|,則|a|<|b| D. 若|a|=|b|,則a=±b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AC=BC,點(diǎn)D在BC上,作∠ADF=∠B,DF交外角∠ACE的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)求證:CF∥AB;
(2)若∠CAD=20°,求∠CFD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,PA、PB是半徑為1的⊙O的兩條切線,點(diǎn)A、B分別為切點(diǎn),∠APB=60°,OP與弦AB交于點(diǎn)C,與⊙O交于點(diǎn)D.則圖中陰影部分的面積是( )
A.π B. C. D.
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