Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個符合條件的點P（簡要說明理由）并寫出其中一個點的坐標；若不存在這樣的點P，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）將點A與B的坐標代入拋物線的解析式得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴點C的坐標為（0，3），
設(shè)點E的坐標為（x，y），過點E作EF∥AB交y軸于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x²-2x+3，CF=3-（-x²-2x+3）=x²+2x，∴S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC
=（EF+OB）•OF+EF•CF-OB•OC
=×（-x+3）×（-x²-2x+3）+×（-x）×（x²+2x）-×3×3
=-（x+）²+，
∴當(dāng)x=-時，△BCE的面積最大，最大面積為；
∴y=-x²-2x+3=，
∴點E的坐標為（-，）；

（3）存在．
如果AP=BP，則點P在AB的垂直平分線上，即是拋物線的頂點，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴此時P點的坐標為（-1，4）；
如果AB=BP，則如圖①：
如果AB=AP，則如圖②：
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點3個；
有一點的坐標為（-1，4）．
分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），利用待定系數(shù)法，將點A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求得a與b的值，則可得此拋物線的解析式；
（2）根據(jù)已知可求得點C的坐標，然后作輔助線：EF∥AB，設(shè)點E的坐標為（x，y），由S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC即可求得關(guān)于x的二次函數(shù)，配方即可求得x的值，代入解析式，求得y的值；
（3）分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析，可得到存在符合條件的點有3個，其中最好求得是P在頂點時的坐標，配方求解即可．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積最大值問題以及求拋物線上的點的問題．此題綜合性很強，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．