Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負(fù)半軸交于點B，且S_△AOB=8．
（1）求點A、點B的坐標(biāo)；
（2）求此二次函數(shù)的解析式；
（3）若該二次函數(shù)與x軸的另一個交點為C，頂點坐標(biāo)為點M，四邊形AMBC的面積．

Answer 1

分析：（1）由當(dāng)x=0時，y=4，即可得點A坐標(biāo)為（0，4），又由S_△AOB=8，二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負(fù)半軸交于點B，利用三角形的面積，即可求得點B的坐標(biāo)；
（2）將點B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的解析式，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)（2）的解析式，即可求得點C與M的坐標(biāo)，然后由S_{四邊形AMBC}=S_△MNB+S_梯形MNOA+S_△AOC，即可求得四邊形AMBC的面積．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負(fù)半軸交于點B，
∴當(dāng)x=0時，y=4，
∴點A坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)點B坐標(biāo)為（x，0），且x＜0，
∵S_△AOB=

1

2

×4×|x|=8，
∴|x|=4，
∴x=-4，
∴點B的坐標(biāo)為（-4，0）；

（2）∵點B的坐標(biāo)為（-4，0），
代入二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的解析式得：-16-4（k-1）+4=0，
解得：k=-2，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-3x+4；

（3）當(dāng)-x²-3x+4=0時，
解得：x=-4或x=1，
∴點C的坐標(biāo)為（1，0），
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴點M的坐標(biāo)為（-

3

2

，

25

4

），
則對稱軸與x軸的交點N的坐標(biāo)為（-

3

2

，0），
∴BN=4-

3

2

=

5

2

，ON=

3

2

，MN=

25

4

，OA=4，OC=1，
∴S_{四邊形AMBC}=S_△MNB+S_梯形MNOA+S_△AOC=

1

2

×

5

2

×

25

4

+

1

2

×（4+

25

4

）×

3

2

+

1

2

×1×4=

35

2

．

點評：此題考查了點與函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及四邊形面積的求解方法等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．