【題目】如圖,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APB=120°,⊙O是△APB的外接圓.AP,BP的延長線分別交BC,AC于D,E.
(1)求證:CA,CB是⊙O的切線;
(2)已知AB=6,G在BC上,BG=2,當(dāng)PG取得最小值時(shí),求PG的長及∠BGP的度數(shù).
【答案】
(1)證明:連接OA,OB,在⊙O上取一點(diǎn)M,連接AM,BM,
∴四邊形APBM是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠M=180°﹣∠APB=60°,
∵∠AOB=2∠M=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠OBC=90°,
∴CB是⊙O的切線;
同理CA是⊙O的切線
(2)作ON⊥AB于N,連接OG,
當(dāng)O,P,G在一條直線上時(shí),PG最小,
∵AB=6,
∴BN=3,
∴OB=2 ,
∵∠OBG=90°,BG=2,tan∠OGB= ,
∴∠OGB=60°,OG=4,
∴PG=4﹣2 ,
此時(shí),∠BGP=60°.
【解析】(1)連接OA,OB,在⊙O上取一點(diǎn)M,連接AM,BM,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠M=180°﹣∠APB=60°,根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠M=120°,求得∠BAC=60°,于是得到結(jié)論;(2)作ON⊥AB于N,連接OG,當(dāng)O,P,G在一條直線上時(shí),PG最小,解直角三角形即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外接圓與外心的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是長方形紙袋,將紙袋沿EF折疊成圖2,再沿BF折疊成圖3,若∠DEF=α,用α表示圖3中∠CFE的大小為 _________。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B在x軸上,AB⊥BC,AO=OB=2,BC=3
(1)寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).
(2)如圖②,過點(diǎn)B作BD∥AC交y軸于點(diǎn)D,求∠CAB+∠BDO的大。
(3)如圖③,在圖②中,作AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB,求∠AED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣(x+1)2+3上的三點(diǎn),則y1 , y2 , y3的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1
D.y3>y1>y2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓,點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線交BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)D
(1)如圖1,求證:BD=ED;
(2)如圖2,AD為⊙O的直徑.若BC=6,sin∠BAC= ,求OE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(1,4),B(3,m)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于O,OD平分∠AOF,OE⊥CD于點(diǎn)O,∠1=50°,求∠BOC、∠BOF的度數(shù).
解:∵OE⊥CD( ),
∴∠DOE=_____°( ),
∵∠1=50°( ),
∴∠AOD=∠________-∠________=________°,
∵∠BOC與∠AOD為_______角(____________),
∴∠BOC=∠________=∠_________°(_____________),
∵OD平分∠AOF(______________),
且∠AOD=____________°(______________),
∴∠AOF=2∠__________=________°( ),
∵∠BOF+∠AOF=______°( ),
∴∠BOF=______°-∠AOF=_________°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】看圖填空,并在括號(hào)內(nèi)注明說理依據(jù).
如圖,已知,,,,與平行嗎?與平行嗎?
解:因?yàn)?/span>,(已知),
所以.
所以 ( ).
又因?yàn)?/span> (已知),
所以.( )
所以.
同理可得, .
所以( ).
所以 (同位角相等,兩直線平行).
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