如圖，四邊形ABCO是矩形，點A（3，0），B（3，4），動點M、N分別從點O、B出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP∥OC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了x秒，△MPA的面積為S．
（1）求點P的坐標(biāo)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時，求出點P的坐標(biāo)．
（4）△PMA能否成為等腰三角形？如能，直接寫出所有點P的坐標(biāo)；如不能，說明理由．
（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
過點A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-
4
3
x+4，
N點坐標(biāo)為（3-x，4），所以P點橫坐標(biāo)為：3-x，
代入直線解析式得縱坐標(biāo)為
4
3
x，
所以P點坐標(biāo)為：（3-x，
4
3
x）；

（2）AM邊上的高為P點縱坐標(biāo)，
所以有：h=
4
3
x，
M點坐標(biāo)為（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=
1
2
AM•h，
解得：S=-
2
3
x2+2x=-
2
3
(x-
3
2
)2+
3
2
，
解得S的最大值為
3
2
，

（3）由題目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
5
3
x，
∵
AP
AM
=
AO
AC

∴
5
3
x
3-x
=
3
5
，解得：
x=
27
34
，即P點坐標(biāo)為（
75
34
，
18
17
），
同理可得當(dāng)
AM
AP
=
AO
AC
時，
P點坐標(biāo)為（
3
2
，2）；
故有P點坐標(biāo)為：P1（
75
34
，
18
17
）、P2（
3
2
，2）；

（4）△PMA能成為等腰三角形，
有三種情況：①AM=AP時，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=（3-x）2，
解得：x1=
9
8
，x2=-
9
2
（舍去），
∴3-x=
15
8
，
4
3
x=
3
2
，
∴P的坐標(biāo)是（
15
8
，
3
2
），
②AP=PM時，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，
4
3
x=
4
3
，
∴P的坐標(biāo)是（2，
2
3
），
③MP=MA時，[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=
54
43
，
∴3-x=
75
43
，
4
3
x=
72
43
，
∴P的坐標(biāo)是（
75
43
，
72
43
），
即P點的坐標(biāo)分別為
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
答：△PMA能成為等腰三角形，此時P點的坐標(biāo)分別為
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點M的坐標(biāo)為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：y=-
1
4
x2+nx與直線y=
1
2
x及過N點垂直于x軸的直線交于點D．點P（m，0）是x軸上一動點，過點P作y軸的平行線，交射線OM于點E．設(shè)以M、E、H、N為頂點的四邊形的面積為S．
（1）直接寫出點D的坐標(biāo)及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點是否在直線OM上？并說明理由；
（3）當(dāng)m≠3時，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖2，設(shè)直線PE交射線OD于R，交拋物線C于點Q，以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對稱圖形時m的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2
3
，0），⊙P剛好與x軸相切于點A，⊙P交y的正半軸于點B，點C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開口向下的拋物線過O，A兩點，當(dāng)它的頂點不在直線AB的上方時，求函數(shù)表達(dá)式的二次項系數(shù)a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C、D點的坐標(biāo)和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-3，6），并且與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求這個二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)D為線段OC上的點，滿足∠DPC=∠BAC，求點D的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y1=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，且A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線y1=ax2+bx+c和直線BC：y2=mx+n的解析式；
（2）當(dāng)y1•y2≥0時，直接寫出x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將達(dá)到警戒線CD，這時水面的寬為8m．若洪水到來，水位以每小時0.1m速度上升，經(jīng)過多少小時會達(dá)到拱頂？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCO的頂點O在原點，點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（0，2），點C在第一象限．
（1）直接寫出點C的坐標(biāo)；
（2）將?ABCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使OC落在y軸的正半軸上，如圖②，得□DEFG（點D與點O重合）．FG與邊AB、x軸分別交于點Q、點P．設(shè)此時旋轉(zhuǎn)前后兩個平行四邊形重疊部分的面積為S0，求S0的值；
（3）若將（2）中得到的?DEFG沿x軸正方向平移，在移動的過程中，設(shè)動點D的坐標(biāo)為（t，0），?DEFG與?ABCO重疊部分的面積為S．寫出S與t（0＜t≤2）的函數(shù)關(guān)系式．（直接寫出結(jié)果）

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同步練習(xí)冊答案