Question

如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高．球第一次落地點后又一次彈起．據(jù)實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式．
（2）運動員乙要搶到第二個落點D，他應(yīng)再向前跑多少米？（取4

3

=7，2

6

=5）

Answer 1

分析：（1）易得第一次落地時拋物線的頂點，可設(shè)所求的函數(shù)解析式為頂點式，把（0，1）代入即可求得所求的函數(shù)解析式；
（2）易得第二次落地時的拋物線的二次項的系數(shù)與第一次落地時拋物線的二次項系數(shù)相同，頂點的縱坐標(biāo)為第一個函數(shù)頂點縱坐標(biāo)的一半，用頂點式設(shè)出所求的函數(shù)解析式，把C坐標(biāo)代入后求得第二次落地時的拋物線解析式，讓函數(shù)值等于0可得D的橫坐標(biāo)，減去OB的距離即為跑的距離．

解答：解：（1）如圖，設(shè)第一次落地時，
拋物線的表達式為y=a（x-6）²+4．
由已知：當(dāng)x=0時y=1．
即1=36a+4，
∴a=-

1

12

．
∴表達式為y=-

1

12

（x-6）²+4；

（2）由題意得：0=-

1

12

（x-6）²+4
解得：x₁=4

3

+6≈13，x2=-4

3

+6＜0（舍去），
∴點C坐標(biāo)為（13，0）．
設(shè)第二次落地的拋物線為y=-

1

12

（x-k）²+2．
將C點坐標(biāo)代入得：0=-

1

12

（13-k）²+2．
解得：k₁=13-2

6

＜13（舍去），k₂=6+4

3

+2

6

≈18．
∴y=-

1

12

（x-18）²+2．
0=-

1

12

（x-18）²+2．
x₁=18-2

6

（舍去），x₂=18+2

6

≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
答：運動員乙要搶到第二個落點D，他應(yīng)再向前跑17米．

點評：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；判斷出2個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵；用到的知識點為：若二次函數(shù)的形狀相同，則二個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同．