Question

如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測(cè)得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在點(diǎn)F處測(cè)得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝2km．

（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

（1）AB=AE，理由見解析；（2）（）km．

試題分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設(shè)AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．
試題解析：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF與△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥PQ，垂足為H．

設(shè)AE=xkm，
則AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，
∴HF=HE+EF=（xcos60°+2）km，
Rt△AHF中，AH=HF•tan45°，
∴AH=HF，
即：xsin60°= xcos60°+2
解得：x=，
即AB=AE=（）km．
答：兩個(gè)島嶼A與B之間的距離為（）km．
考點(diǎn): 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．