Question

已知△ABC的兩邊AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²(2k+3)x+    k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5．

    (1)當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是直角三角形?

(2)當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形?請(qǐng)求出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

 (1)由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1,無(wú)論k取何值，方程均有實(shí)數(shù)根：x₁=k +1，x₂=k+2．不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2．第三邊BC=5,當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)BC=5是斜邊時(shí)，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25，解得k₁=2，k₂=5(舍去)；②當(dāng)AC是斜邊時(shí)，有AB²+BC²=AC²，即(k+1)²+5²=(k+2)²，解得k=11．當(dāng)k=2和k=11時(shí)，△ABC是直角三角形 

(2) AB=k+1，AC=k+2，BC=50, 當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，有兩種情況：

  ①當(dāng)AC=BC=5時(shí)，k+2=5，k=3．△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+1=14；②當(dāng)AB=BC=5時(shí)，k+1=5，k=4．△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+2=16．故當(dāng)k=3和4時(shí)，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長(zhǎng)分別是14和16