Question

 如圖(15-1)，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點。某數(shù)學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.

（1）如圖(15-2)，在△中，°，，的平分線交于點，請問點是否是邊上的黃金分割點，并證明你的結論；

（2）若△在（1）的條件下，如圖（15-3），請問直線是不是△的黃金分割線，并證明你的結論；

（3）如圖(15-4)，在直角梯形中，，對角線、交于點，延長、交于點，連接交梯形上、下底于、兩點，請問直線是不是直角梯形的黃金分割線，并證明你的結論.

Answer 1

解：（1）點D是AB邊上的黃金分割點．理由如下：

由題易證△BCD∽△BAC，得，

∴，

∴點D是AB邊上的黃金分割點．      …

（2）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

設△ABC中，AB邊上的高為h，

則S_△ABC=AB•h，S_△ACD=AD•h，S_△BCD=BD•h．

∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD．

由（1）知，點D是AB邊上的黃金分割點，

∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，

∴CD是△ABC的黃金分割線．     

（3）直線不是直角梯形ABCD的黃金分割線．理由如下：

∵BC∥AD，

∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，

∴，，

∴，即 ①

同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：

，即 ②

由①、②得：

∴AH=HD，

∴BG=GC．

∴梯形ABGH與梯形GCDH上下底分別相等，高也相等，

∴S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=S_梯形ABCD．

∴GH不是直角梯形ABCD的黃金分割線．