【答案】
分析:(1)根據(jù),⊙A被y軸分成段兩圓弧,其弧長之比為3:1,可知弦OB所對(duì)的圓心角的度數(shù)為90°,即三角形OAB為等腰直角三角形,根據(jù)斜邊OB長為2,因此圓A的半徑應(yīng)該是
;
(2)本題要分兩種情況進(jìn)行求解:
圓A的圓心在第一象限時(shí),那么C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是(2,0),
圓A的圓心在第二象限時(shí),C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(-2,0),
因此可設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-2)或y=ax(x+2).已知頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線l上,由于l與圓相切,在(1)已經(jīng)得出∠BOA=45°,因此直線l與y軸的夾角為45°,那么直線l的解析式為y=x或y=-x.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和O,C的坐標(biāo)可知,拋物線的對(duì)稱軸為x=1或x=-1,將橫坐標(biāo)代入直線l中即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo),然后將其代入拋物線的解析式中即可得出所求的結(jié)果;
(3)本題可根據(jù)切割線定理求解,先根據(jù)直線l的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),如(m,-m)(m>0)那么OP=
m,根據(jù)切割線定理有OP
2=PC•PE=2PC
2=2m
2,因此PC=m,由此可得出PC與P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相同,即PC⊥x軸,因此m=OC=2.即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo);(另外一種情況,即當(dāng)直線l的解析式為y=x時(shí),解法同上)
(4)已知了P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,即拋物線的對(duì)稱軸為x=m,可據(jù)此求出FC的長,然后將m代入拋物線的解析式中求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),即可得出三角形的高,然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求得S,m的函數(shù)關(guān)系式.(本題要注意的線段的長不能為負(fù)數(shù),因此要根據(jù)m的不同的取值范圍進(jìn)行分類討論)
解答:解:(1)
由弧長之比為3:1,
可得∠BAO=90°,(1分)
再由AB=AO=r,且OB=2,
得r=
;
(2)⊙A的切線l過原點(diǎn),可設(shè)l為y=kx,
任取l上一點(diǎn)(b,kb),由l與y軸夾角為45°,
可得:b=-kb或b=kb,得k=-1或k=1,
∴直線l的解析式為y=-x或y=x
又由r=
,易得C(2,0)或C(-2,0)
由此可設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-2)或y=ax(x+2)
再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入l的解析式中得a=1
∴拋物線為y=x
2-2x或y=x
2+2x;
(3)當(dāng)l的解析式為y=-x時(shí),由P在l上,
可設(shè)P(m,-m)(m>0)
過P作PP′⊥x軸于P′,
∴OP′=|m|,PP′=|-m|,
∴OP=
=2m
2,
又由切割線定理可得:OP
2=PC•PE,且PC=CE,
得PC=C′E=m=PP′
∴C與P′為同一點(diǎn),即PE⊥x軸于C,
∴m=-2,E(2,2)
同理,當(dāng)l的解析式為y=x時(shí),m=-2,E(-2,2);
(4)若C(2,0),此時(shí)l為y=-x,
∵P與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合,
∴m≠0且m≠2,
當(dāng)m<0時(shí),F(xiàn)C=2(2-m),高為|y
p|即為-m,
∴S=
=m
2-2m.
同理當(dāng)0<m<2時(shí),S=-m
2+2m;當(dāng)m>2時(shí),S=m
2-2m;
∴S=.
,
又若C(-2,0),
此時(shí)l為y=x,同理可得;S=.
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了切線的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定,圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.