Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，點E在邊CD上，點F在BC的延長線上，CF＝DE，AE的延長線與DF相交于點G．

（1）求證：∠CDF＝∠DAE；

（2）如果DE＝CE，求證：AE＝3EG．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是菱形，得到AD=CD，AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADE=∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CDF=∠DAE；
（2）過E作EH∥BF交DF于H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EH＝CF，

于是得到DE＝CF＝CD＝AD，即EH＝AD，可證得△GHE∽△GDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

證明∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DCF，

在△ADE與△DCF中，

，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠CDF＝∠DAE；

（2）過E作EH∥BF交DF于H，

∵DE＝CE，

∴EH＝CF，

∵△ADE≌△DCF，

∴DE＝CF＝CD＝AD，

∴EH＝AD，

∵EH∥AD，

∴△GHE∽△GDA，

∴，

∴AE＝3EG．