Question

如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)．過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為點E點M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸負半軸上，且F(0，-2).

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

（2）當點P、Q從C、F兩點同時出發(fā)，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向

運動，點P運動到O時P、Q兩點同時停止運動.設運動的時間為t秒，在運動過

程中，以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數關

系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在拋物線上是否存在點N，使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直

接寫出點N的坐標；不存在，說明理由。

 

第23題圖（1）

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)

解得a=-，b=，c=4（或可用交點式求解）

拋物線的解析式為y=-x²+x+4

（或y=-(x+2)(x-6)或y=-(x-2)² +.）

四邊形OADE為正方形.

（2）根據題意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2

∴CE=2  ∴CO=FA=6

∵運動的時間為t

∴CP=FQ=t

過M作MN⊥OE于N，

則MN=2

當0≤t＜2時，OP=6-t，OQ=2-t

∴S=+=(6-t)×2+(6-t)

(2- t)=(6-t)(4-t)   ∴S =t²-5t+12.

當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形.

(不寫也可)

當2＜t＜6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45

∵FQ=CP=t，FO=CE=2  ∴OQ=EP

∴△QOM≌△PEM

∴四邊形OPMQ的面積S==×4×2=4

綜上所述，當0≤t＜2時，

S=t-5t+12；當2＜t＜6時， S=4

（3）存在N(1，5)，N(5，)，

N(2+，-2)，N(2-，-2)