Question

（2009•義烏）已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=（k＞0），他的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；
（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax²+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo)______，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式______，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)______．

Answer 1

【答案】分析：此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標(biāo)軸上兩點，C、D為函數(shù)圖象上的兩點：（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標(biāo)從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴(yán)密性．
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標(biāo)表示出點C的坐標(biāo)從而求解．
（3）注意思維的嚴(yán)密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．
解答：解：（1）如圖1，
當(dāng)點A在x軸正半軸，點B在y軸負(fù)半軸上時，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長CD=；∠OCD=∠ODC=45°，
當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸、點B在y軸正半軸上時，
設(shè)小正方形的邊長為a，
易得CL=小正方形的邊長=DK=LK，故3a=CD=．
解得a=，所以小正方形邊長為，
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為或；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此時，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點坐標(biāo)為（2-m，2），
∴2m=2（2-m），解得m=1．
反比例函數(shù)的解析式為y=．

（3）解：實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中，另一個點都在（3，4）的左側(cè)，而開口向下時，另一點都在（3，4）的右側(cè)，與上述解析明顯不符合
1、當(dāng)點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，點C坐標(biāo)為（3，4）時：另外一個頂點為（4，1），對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=-x²+；
2、當(dāng)點A在x 軸正半軸上，點 B在 y軸正半軸上，點D 坐標(biāo)為（3，4）時：不存在，
3、當(dāng)點A 在 x 軸正半軸上，點 B在 y軸負(fù)半軸上，點C 坐標(biāo)為（3，4）時：不存在
4、當(dāng)點A在x 軸正半軸上，點B在y軸負(fù)半軸上，點D坐標(biāo)為（3，4）時：另外一個頂點C為（-1，3），對應(yīng)的函數(shù)的解析式是y=x²+；
5、當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸上，點B在y軸負(fù)半軸上，點C坐標(biāo)為（3，4）時，另一個頂點D的坐標(biāo)是（7，-3）時，對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=-；
6、當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸上，點B在y軸負(fù)半軸上，點C坐標(biāo)為（3，4）時，另一個頂點D的坐標(biāo)是（-4，7）時，對應(yīng)的拋物線為y=x²+；
∵由拋物線的伴侶正方形的定義知，一條拋物線有兩個伴侶正方形，是成對出現(xiàn)的，
∴所求出的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù)．
點評：此題是一道新定義題，題比較復(fù)雜，先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點所處的位置，因為涉及到相關(guān)點的坐標(biāo)，所以過某一點作坐標(biāo)軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識確定相關(guān)點的坐標(biāo)即可求解．