Question

在如圖1中，畫(huà)出已知△ABC內(nèi)接正方形A′B′C′D′，使其一邊B′C′在BC上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)A′、D′分別在AB和AC上（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡），如圖2，如果∠A是直角，AB=4，AC=3，求正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）如圖1，任意畫(huà)一個(gè)小正方形，將B點(diǎn)與小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)連接，交AC于D′點(diǎn)，再過(guò)D′點(diǎn)分別作BC的平行線，垂線，得到正方形A′B′C′D′；
（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂直為H，交A′D′于G點(diǎn)，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===5，
由三角形面積公式，得AH×BC=AB×AC，解得AH==，
設(shè)正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為x，
∵A′D′∥BC，∴△AA′D′∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，即正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為．
分析：（1）利用“位似”的方法畫(huà)圖；
（2）過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂直為H，利用“面積法”求AH，根據(jù)A′D′∥BC，證明△AA′D′∽△ABC，根據(jù)相似比等于對(duì)應(yīng)邊上高的比，列方程求正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用“位似”法畫(huà)出正方形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求正方形的邊長(zhǎng)．