Question

問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為

5

、

10

、

13

，求這個(gè)三角形的面積．
小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．
（1）若△ABC三邊的長分別為

5

a，2

2

a，

17

a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
思維拓展：
（2）若△ABC三邊的長分別為

m2+16n2

，

9m2+4n2

，2

m2+n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．
探索創(chuàng)新：
（3）已知a、b都是正數(shù)，a+b=3，求當(dāng)a、b為何值時(shí)

a2+4

+

b2+25

有最小值，并求這個(gè)最小值．
（4）已知a，b，c，d都是正數(shù)，且a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，求證：ab=cd．

Answer 1

分析：（1）

5

a是直角邊長為a，2a的直角三角形的斜邊；2

2

a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（2）結(jié)合（1）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積由（1）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長線于F點(diǎn)，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)（3）可作BD=3，過點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長線于F點(diǎn)，使AB=2，ED=5，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式

a2+4

+

b2+25

的最小值．
（4）根據(jù)a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，得出c²（a²-d²）=a⁴，進(jìn)而得出（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，再去括號得出a²b²=d²c²，即可得出答案．

解答：解：（1）如圖：

S_△ABC=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；

（2）構(gòu)造△ABC所示，（未在試卷上畫出圖形不扣分）

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．  

（3）如圖所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，
AB⊥BD，DE⊥BD，當(dāng)AE在一條直線上時(shí)，AC+CE最小，
由題意得出：AB∥DE，
∴△ABC′∽△EDC′，
∴

AB

ED

=

BC′

C′D

，
∴

2

5

=

BC′

3-BC′

，
解得：BC′=

6

7

，C′D=3-

6

7

=

15

7

，
過點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長線于F點(diǎn)，
根據(jù)題意，四邊形ABDF為矩形．
EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．
∴AE=

49+9

=

58

．
即AC+CE的最小值是

58

，
故：a=

6

7

，b=3-

6

7

=

15

7

時(shí)，

a2+4

+

b2+25

有最小值為

58

．


（4）證明：∵a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，
∴c²（a²-d²）=a⁴，
則（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，
整理得出：a²b²=a²d²+b²d²，
∴a²b²=d²（a²+b²），
∴a²b²=d²c²，
∵a，b，c，d都是正數(shù)，
∴ab=cd．

點(diǎn)評：此題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．