Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E是第一象限的拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABEC的面積最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出四邊形ABEC的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出△ABC的面積，再判斷出△BCE的面積最大時四邊形ABEC的面積最大，設(shè)過點(diǎn)E與y軸平行的直線與直線BC相交于點(diǎn)F，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式，然后表示出EF，再表示出△BCE的面積，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出△BCE的面積的最大值以及點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再求解即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=0

，
解得

b=1 c=2

．
所以，y=-x²+x+2；

（2）令x=0，則y=2，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵AB=2-（-1）=3，
∴S_△ABC=

1

2

×3×2=3，
∴△BCE的面積最大時四邊形ABEC的面積最大，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+2，
設(shè)過點(diǎn)E與y軸平行的直線與直線BC相交于點(diǎn)F，
則EF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x，
所以，S_△BCE=

1

2

×（-x²+2x）×2=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴當(dāng)x=1時，△BCE的面積最大為1，
此時，y=-1+1+2=2，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），四邊形ABEC的最大面積為3+1=4．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)在于判斷出△BCE的面積最大時四邊形ABEC的面積最大并表示出△BCE的面積．