Question

【題目】將兩塊全等的含30°角的三角尺按如圖1所示的方式擺放在一起，它們較短的直角邊BC＝EC＝3．

（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖2的位置，使點E′落在AB上，則CC′＝　 　；

（2）將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，使點E′落在AB上，則△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為　 　；

（3）將△ECD沿直線AC翻折到圖4的位置，ED′與AB相交于點F，求證：AF＝FD′．

Answer 1

【答案】（1）3﹣；（2）30°；（3）見解析

【解析】

（1）先判斷出C'E'＝3，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出BE'＝2BC，最后用勾股定理求出BC'即可得出結(jié)論；

（2）△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE'的度數(shù)；易得：∠ECE′＝∠BAC＝30°；

（3）根據(jù)條件，證明△AEF≌△D′BF進而得出AF＝FD′.

解：（1）解：CC′＝3﹣．

理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'＝CE＝3，

∴∠BE'C'＝∠A＝30°，

∵BC＝EC＝3，

在Rt△BC'E'中，∠BE'C'＝30°，

根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，得BE'＝2BC'

∴BE'2﹣BC'2＝C'E'2，

即：4BC'2﹣BC'2＝9，

∴BC'＝，

∴CC′＝BC﹣BC'＝3﹣；

故答案為：3﹣；

（2）解：△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE′的度數(shù)；

∵∠ABC＝60°，BC＝CE′＝3，AB＝6，

∴△E′BC是等邊三角形，

∴BC＝E′C＝E′B＝3，

∴AE′＝E′C＝3，

∴∠E′AC＝∠E′CA，

∴∠ECE′＝∠BAC＝30°；

故答案為：30°；

（3）證明：∵AE＝AC﹣EC，D′B＝D′C﹣BC，

又∵AC＝D′C，EC＝BC，

∴AE＝D′B，

又∵∠AEF＝∠D′BF＝180°﹣60°＝120°，∠A＝∠CD′E＝30°，

在△AEF和△D′BF中，

，

∴△AEF≌△D′BF（ASA），

∴AF＝FD'.