如圖，O是已知線段AB上一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙O交線段AB于點(diǎn)C，以線段AO為直徑的半圓交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作AB的垂線與AD的延長線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE切⊙O于點(diǎn)D；
（2）若AC=2，且AC、AD的長時(shí)關(guān)于x的方程x2-kx+4
5
=0的兩根，求線段EB的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB何處時(shí)，△ODC恰好是等邊三角形？并說明理由．
（1）證明：連接OD．
根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得OD⊥AE，
則AE切⊙O于點(diǎn)D．

（2）∵AC=2，AC、AD是所給方程的兩根，
∴2AD=4
5
，
∴AD=2
5
．
由切割線定理，得AD2=AC•AB，
∴AB=
AD2
AC
=10，
則BC=AB-AC=10-2=8，
∴OD=4．
在△AOD和△AEB中，∵∠A=∠A，
又∵EB⊥AB，
∴∠EBA=∠ODA=90°
∴△AOD∽△AEB．
∴
OD
BE
=
AD
AB
，
∴BE=
OD•AB
AD
=4
5
．

（3）當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB上靠近B的三等分點(diǎn)處時(shí)，△ODC恰好為等邊三角形．
證明如下：∵OB=OC=
1
2
BC，
∴AC=
1
3
AB．
∴AC=OC=OD．
∴C為以AO為直徑的圓的圓心．
∴CD=OC=OD．
∴△ODC是等邊三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C為圓心r為半徑畫⊙C，使⊙C與線段AB有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍是（　�。�
A．6≤r≤8B．6≤r＜8C．
24
5
＜r≤6		D．
24
5
＜r≤8

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AB是⊙E的直徑，C是直線AB上一點(diǎn)，CD切⊙E于點(diǎn)D，且∠A=25°，則∠C=______度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：有一軸截面為正三角形的圓錐形容器，內(nèi)部盛水高度為10cm，放入一個(gè)球后，水面恰好與球相切，求球的半徑．（圓錐的體積公式V=
1
3
πR2h，其中R為底面半徑，h為高線；球的體積公式V=
4
3
πR3，其中R為球的半徑）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA為⊙O直徑，過弧AC的中點(diǎn)H作PC的垂線交PC的延長線于點(diǎn)B，若HB=6cm，BC=4cm，求⊙O直徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是
BC
的中點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：DP⊥AP；
（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半徑R的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，PA、PB分別切圓O于A、B兩點(diǎn)，C為劣弧AB上一點(diǎn)，∠APB=30°，則∠ACB=（　�。�
A．60°B．75°C．105°D．120°

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為
3
，DE=3，求AE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線EF交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AC是⊙O直徑，DE是⊙O的切線，且DE⊥EF，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半徑．

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