如圖,平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),過E作直線AB的垂線,垂足為F,F(xiàn)E與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,連接DE、DF.有下面三個(gè)結(jié)論:
(1)△BEF∽△CEG;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之和為24;
(3)當(dāng)BE=
55
6
時(shí),△DEF的面積為
121
6
,
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
分析:(1)由AB∥DG,即可直接得到兩個(gè)三角形相似.
(2)利用勾股定理可求出BM=3,又因?yàn)镽t△BEF∽R(shí)t△BAM,令BE=x,那么根據(jù)相似比,可用含x的代數(shù)式分別表示EF,BF,同樣在△CEG中,令CE=y,可用含y的代數(shù)式表示CG,EG,又x+y=10,那么能求出兩三角形的周長(zhǎng)和是
12
5
(x+y)=24.
(3)利用相似比、勾股定理可得EF=
4
5
x,CG=
3
5
(10-x),那么利用三角形的面積公式,可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式,再根據(jù)二次函數(shù)求最大值來求即可.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DG,
∴∠B=∠GCE,∠G=∠BFE,
∴△BEF∽△CEG,故此選項(xiàng)正確;
(2)過點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H,
因?yàn)镚F⊥AB,所以四邊形FHCG為矩形.
所以FH=CG,F(xiàn)G=CH,
因此,△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH,
∵∠B=∠B,∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH,
AB
BC
=
AM
CH

由BC=10,AB=5,AM=4,
可得CH=8,
∴BH=6,
所以BC+CH+BH=24,故此選項(xiàng)正確;
(3)設(shè)BE=x,則EF=
4
5
x,GC=
3
5
(10-x),
所以y=
1
2
EF•DG=
1
2
4
5
x[
3
5
(10-x)+5]=-
6
25
x2+
22
5
x,
配方得:y=-
6
25
(x-
55
6
2+
121
6

所以,當(dāng)x=
55
6
時(shí),y有最大值.
最大值為
121
6
,故此選項(xiàng)正確.
故答案為:(1)(2)(3).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,三角形的面積公式,二次函數(shù)求最大值的問題,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
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如圖,平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二精英家教網(wǎng)次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求
OA
AB
的值.
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=
16
3
,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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5
,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,分別交BC、AD于點(diǎn)E、F.
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(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí),在圖2中畫出直線AC旋轉(zhuǎn)后的位置并證明此時(shí)四邊形ABEF是平行四邊形;
(3)在直線AC旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請(qǐng)說明理由;如果能,說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).(圖供畫圖或解釋時(shí)使用)
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