Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE．
（1）求證：△BME≌△DNF；
（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行且相等，由AM垂直于BC，CN垂直于AD，得到AM與CN平行，再由平行四邊形ABCD，得到BC與AD平行，BC=AD，進而確定出AMCN為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AN=CM，進而得到DN=BM，利用ASA得證；
（2）由（1）得到NF=EM，AM=CN，且AM與CN平行，得到AE與CF平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證．

解答：證明：（1）∵ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，∠NDF=∠MBE，
∴AM∥CN，
∴AMCN為平行四邊形，
∴AN=CM，
∴AD-AN=BC-CM，即DN=BM，
在△BME和△DNF中，

∠EBM=∠FND BM=DN ∠BME=∠DNF=90°

，
∴△BME≌△DNF（ASA）；
（2）由（1）得：NF=ME，AM=CN，AM∥CN，
∴AM-EM=CN-NF，即AE=CF，
則四邊形AECF為平行四邊形．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．