Question

如圖，平面直角坐標系中，點A，C兩點分別在x軸和y軸上，點A的坐標點（0，6），點C的坐標（8，0），M、N分別為OA、AC的中點，動點P從O出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線OCNM運動，以P為圓心，以3為半徑作⊙P，以N為圓心，以1為半徑作⊙N．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當點P運動到使△AOP的面積為18時，設(shè)MP交ON于K，求△KMO的面積；
（3）t為何值時，⊙P與⊙N相切？請你寫出推理的過程．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）設(shè)P點的橫坐標為x，利用三角形面積公式得到

1

2

•6•x=18，解得x=6，然后分類討論：當點P在x軸上，則P點坐標為（6，0），當點P在直線AC上，可得P點坐標為（6，

3

2

），再確定M（0，3），N（4，3）和直線ON的解析式為y=

3

4

x，接著利用待定系數(shù)法求出過M（0，3），P（6，0）的直線解析式為y=-

1

2

x+3，則通過解方程組

y=- 1 2 x+3 y= 3 4 x

得到K點坐標為（

24

5

，

18

5

），于是根據(jù)三角形面積公式計算出△KMO的面積；同樣可求出過M（0，3），P（6，

3

2

）的直線解析式為y=-

1

4

x+3，利用解方程組

y=- 1 4 x+3 y= 3 4 x

得K點坐標為（3，

9

4

），再計算△KMO的面積；
（3）分類討論：當P點在OC上，設(shè)P（t，0），根據(jù)兩圓外切的判定方法，當PN等于兩圓半徑之和時，⊙P與⊙N外切，利用兩點間的距離公式得到（t-4）²+3²=4²，可解得t₁=4-

7

，t₂=4+

7

；
當點P在CN上，當PN=4時，⊙P與⊙N外切，CP=1，易得t=9；當PN兩圓半徑之差時，⊙P與⊙N內(nèi)切，得CP=3，則t=11；當點P在MN上，同理可得當PN=2時，⊙P與⊙N內(nèi)切，此時t=15，當PN=4時，⊙P與⊙N外切，可得t=17，綜上所述，當t的值為4-

7

或4+

7

或9或11或15或17時，⊙P與⊙N相切．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把點A（0，6），點C（8，0）代入得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以直線AC的解析式為y=-

3

4

x+6；
（2）設(shè)P點的橫坐標為x，
根據(jù)題意得

1

2

•6•x=18，解得x=6，
當點P在x軸上，則P點坐標為（6，0），
當點P在直線AC上，x=6時，y=-

3

4

x+6=

3

2

，此時P點坐標為（6，

3

2

），
∵M、N分別為OA、AC的中點
∴M（0，3），N（4，3），
∴直線ON的解析式為y=

3

4

x，
①過M（0，3），P（6，0）的直線解析式為y=-

1

2

x+3，
解方程組

y=- 1 2 x+3 y= 3 4 x

得

x= 24 5 y= 18 5

，
∴K點坐標為（

24

5

，

18

5

），
∴△KMO的面積=

1

2

•3•

24

5

=

36

5

；
②過M（0，3），P（6，

3

2

）的直線解析式為y=-

1

4

x+3，
解方程組

y=- 1 4 x+3 y= 3 4 x

得

x=3 y= 9 4

，
∴K點坐標為（3，

9

4

），
∴△KMO的面積=

1

2

•3•3=

9

2

；
（3）當P點在OC上，設(shè)P（t，0），
∵當PN=1+3=4時，⊙P與⊙N外切，
∴（t-4）²+3²=4²，解得t₁=4-

7

，t₂=4+

7

；
當點P在CN上，CN=5，
∵當PN=1+3=4時，⊙P與⊙N外切，
∴CP=1，
∴t=8+1=9；
∵當PN=3-1=2時，⊙P與⊙N內(nèi)切，
∴CP=3，
∴t=8+3=11；
當點P在MN上，
∵當PN=2時，⊙P與⊙N內(nèi)切，
∴t=8+5+2=15；
∵當PN=4時，⊙P與⊙N外切，
∴t=8+5+4=17，
綜上所述，當t的值為4-

7

或4+

7

或9或11或15或17時，⊙P與⊙N相切．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握兩圓相切的性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題；學會用代數(shù)法解決有關(guān)動點問題的問題．