【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=6,點E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF.下列結論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正確結論的個數(shù)是( 。
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
根據(jù)正方形性質和翻折的性質,得到AB=AF,∠B=∠AFG=90°,利用HL定理即可判定①正確;求出DE、CE的長,從而得到EF,設BG=x,然后表示出GF,再求出CG、EG的長,然后在Rt△CEG中,利用勾股定理列式求出x的值,從而得到BG=CG,判定②正確;再根據(jù)等邊對等角的性質得到∠GCF=∠GFC,然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF,從而求出∠GCF=∠AGB,根據(jù)同位角相等,兩直線平行即可證明AG∥CF,判定③正確;先求出△CEG的面積,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出△FGC的面積為,判定④錯誤.
解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC=6,∠B=∠D=90°,
∵CD=3DE,
∴DE=2,
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE,
∴DE=EF=2,AD=AF,∠D=∠AFE=∠AFG=90°,
∴AF=AB,
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴①正確;
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴BG=FG,∠AGB=∠AGF,
設BG=x,則CG=BC-BG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,
在Rt△ECG中,由勾股定理得:CG2+CE2=EG2,
∵CG=6-x,CE=4,EG=x+2
∴(6-x)2+42=(x+2)2
解得:x=3,
∴BG=GF=CG=3,
∴②正確;
∵CG=GF,
∴∠CFG=∠FCG,
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG,
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF,
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF,
∵∠AGB=∠AGF,∠CFG=∠FCG,
∴∠AGB=∠FCG,
∴AG∥CF,
∴③正確;
∵△CFG和△CEG中,分別把FG和GE看作底邊,
則這兩個三角形的高相同.
∴==,
∵S△CEG=×3×4=6,
∴S△FGC=×6=,
∴④錯誤;
正確的結論有3個.
故選C.
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【題目】某星期天早晨,小華從家出發(fā)步行前往體育館鍛煉,途中在報亭看了一會兒報,如圖所示是小華從家到體育館這一過程中所走的路程米與時間分之間的關系.
體育館離小華家_______米,從出發(fā)到體育館,小華共用了______分鐘;
小華在報亭看報用了多少分鐘?
小華看完報后到體育館的平均速度是多少?
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【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=2,AD=3,E是AB的中點,F是AD邊上的一個動點,將△AEF沿EF所在直線翻折,得到△A′EF,則A′C的最小值是( )
A. 5 B. 6 C. D. -1
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【題目】如圖,點A是線段DE上一點,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE.
(1)求證:DE=BD+CE.
(2)如果是如圖2這個圖形,BD、CE、DE有什么數(shù)量關系?并證明.
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【題目】已知,如圖,四邊形ABCD是梯形,AB、CD相互平行,在AB上有兩點E和F,此時四邊形DCFE恰好是正方形,已知CD=a,AD=a+ab2,BC=a+2ab2,(單位:米)其中a>0,1<b2<4,現(xiàn)有甲乙兩只媽蟻,甲螞蟻從A點出發(fā),沿著A﹣D﹣C﹣F﹣A的路線行走,乙螞蟻從B點出發(fā),沿著B﹣C﹣D﹣E﹣B的路線行走,甲乙同時出發(fā),各自走回A和B點時停止.甲的速度是(米/秒),乙的速度是(米/秒).
(1)用含a、b的代數(shù)式表示:
①甲走到點C時,用時 秒;
②當甲走到點C時,乙走了 米;
③當甲走到點C時,此時乙在點M處,△AMC的面積是 平方米;
④當甲走到點C時,已經(jīng)和乙相遇一次,它們從出發(fā)到這一次相遇,用時 秒.
(2)它們還會有第二次相遇嗎?如果有,請求出兩只螞蟻從出發(fā)到第二次相遇所用的時間.如果沒有,簡要說明理由.
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【題目】如圖,點O為直線AB上一點,∠AOC=48°,OD平分∠AOC,OE⊥OD交于點O.
(1)求出∠BOD的度數(shù);
(2)試用計算說明∠COE=∠BOE.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD,∠ADC的平分線DE,交BC于點E.
證明:①EC=EB;②AE⊥DE.
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【題目】小英與她的父親,母親計劃外出旅游,初步選擇了延安、西安、漢中、安康四個城市,由于時間倉促,他們只能去其中一個城市,到底去哪一個城市三人意見不統(tǒng)一,在這種情況下,小英父親建議,用小英學過的摸球游戲來決定,規(guī)則如下:
①在一個不透明的袋子中裝一個紅球(延安)、一個白球(西安)、一個黃球(漢中)和一個黑球(安康),這四個球除顏色的不同外,其余完全相同;
②小英父親先將袋中球搖勻,讓小英從袋中隨機摸出一球,父親記錄下其顏色,并將這個球放回袋中搖勻;然后讓小英母親從袋中隨機摸出一球,父親記錄下它的顏色;
③若兩人所摸出球的顏色相同,則去該球所表示的城市旅游。否則,前面的記錄作廢,按規(guī)則②重新摸球,直到兩人所摸出的球的顏色相同為止。
按照上面的規(guī)則,請你解答下列問題:
(1)已知小英的理想旅游城市是西安,小英和母親隨機各摸球一次,均摸出白球的概率是多少?
(2)已知小英母親的理想旅游城市是漢中,小英和母親隨機各摸球一次,至少有一人摸出黃球的概率是多少?
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