Question

如圖，直線y=-

3

x+2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，O，直線BC交⊙A于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）以O(shè)C為直徑作⊙O'，連接AD，直線AD與⊙O'相切嗎？為什么？
（3）過(guò)O，C，D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可求得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，因?yàn)镺B是直徑，所以可求得∠BDO是直角，所以由三角函數(shù)可求得∠OBC等于30°，所以可求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意，有等量代換求得∠ADO′=90°，即可說(shuō)明AD是⊙O'切線；
（3）首先要驗(yàn)證此點(diǎn)的存在性，再根據(jù)三角形的相似性求解即可．

解答：解：（1）由題意知B（0，2），C（

2

3

3

，0），
tan∠OBC=

OC

BO

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠OBC=30°，
∴BD=BOcos30°=

3

．
過(guò)D作DE⊥y軸，垂足為E，DE=BD•sin30°=

3

2

，EO=DEtan30°=

1

2

，
∴D（

3

2

，

1

2

)．

（2）相切．
連接O'D．
由題意知O'D=OO'，
∴∠O'OD=∠O'DO，
又∵∠AOD=∠ADO．
∴∠ADO'=∠ADO+∠O'DO=∠AOD+∠O'OD=∠AOO'=90°，
∴AD是⊙O'的切線．

（3）存在．
點(diǎn)P是直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
設(shè)P'是對(duì)稱軸上不同于點(diǎn)P的任一點(diǎn)，PO-PD=PC-PD=CD，P'O-P'D=P'C-P'D．
在△P'CD中，顯然有P'C-P'D＜CD．
所以，存在點(diǎn)P，使PO與PD之差的值最大．
且點(diǎn)P是直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．
由CO²=CD•CB，得CD=

OC2

CB

=

( 2 3 3 )2

4 3 3

=

3

3

，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知對(duì)稱軸方程為x=

3

3

，
所以點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-

3

×

3

3

+2=1．
∴P（

3

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與園的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意分析二次函數(shù)與圓的性質(zhì)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．