Question

如圖，⊙O的圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC是直徑，且AD=CD，AB=8，BD=10

2

，則tan∠BDC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：計(jì)算題

分析：如圖，作DE⊥BE，作DF⊥BC，由AD=CD，利用等弦對等角得到∠ABD=∠CBD，即BD為角平分線，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形，得到四邊形DEBF為正方形，由BD的長求出正方形邊長為10，利用AAS得到三角形ADE與三角形CDF全等，即AE=CF，由BE-AB求出AE與CF的長，由BF+CF求出BC的長，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠BAC的值，即為∠BDC的值．

解答：解：如圖，作DE⊥BE，作DF⊥BC，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，即BD為∠ABC的角平分線，
∵AC為圓的直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DEB=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四邊形BFDE為正方形，BD=10

2

，
∴BF=BE=10，∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠AED=∠CFD=90° ∠EDA=∠CDF AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF=BE-AB=10-8=2，
∴BC=BF+CF=10+2=12，
∴tan∠BDC=tan∠BAC=

BC

AB

=

12

8

=

3

2

．
故答案為：

3

2

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．