【題目】如圖,AE切⊙O于點E,AT交⊙O于點M,N,線段OE交AT于點C,OB⊥AT于點B,已知∠EAT=30°,AE=,MN=.
(1)求∠COB的度數(shù);
(2)求⊙O的半徑R;
(3)點F在⊙O上(是劣。褽F=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個?你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎?請在圖中畫出這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比.
【答案】(1)30°;(2)5;(3)6個,5:1.
【解析】
試題分析:(1)由AE與圓O相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得到AE與CE垂直,又OB與AT垂直,可得出兩直角相等,再由一對對頂角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC相似,根據(jù)相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等,由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù);
(2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長,再由OB垂直于MN,由垂徑定理得到B為MN的中點,根據(jù)MN的長求出MB的長,在直角三角形OBM中,由半徑OM=R,及MB的長,利用勾股定理表示出OB的長,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC,用OE﹣OC=EC列出關(guān)于R的方程,求出方程的解得到半徑R的值;
(3)把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F(xiàn)重合,在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有3個.延長EO與圓交于點D,連接DF,如圖所示,由第二問求出半徑,的長直徑ED的長,根據(jù)ED為直徑,利用直徑所對的圓周角為直角,得到三角形EFD為直角三角形,由∠FDE為30°,利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長,表示出三角形EFD的周長,再由第二問求出的三角形OBC的三邊表示出三角形BOC的周長,即可求出兩三角形的周長之比.
試題解析:(1)∵AE切⊙O于點E,∴AE⊥CE,又OB⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°,又∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°;
(2)∵AE=,∠A=30°,∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3,∵OB⊥MN,∴B為MN的中點,又MN=,∴MB=MN=,連接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,∴OB==,在△COB中,∠BOC=30°,∵cos∠BOC=cos30°==,∴BO=OC,∴OC=OB=,又OC+EC=OM=R,∴R=+3,整理得:,即(R+23)(R﹣5)=0,解得:R=﹣23(舍去)或R=5,則R=5;
(3)以EF為斜邊,有兩種情況,以EF為直角邊,有四種情況,所以六種,畫直徑FG,連接EG,延長EO與圓交于點D,連接DF,如圖所示:
∵EF=5,直徑ED=10,可得出∠FDE=30°,∴FD=,則C△EFD=5+10+=15+,由(2)可得C△COB=,∴C△EFD:C△COB=():()=5:1.
∵EF=5,直徑FG=10,可得出∠FGE=30°,∴EG=,則C△EFG=5+10+=15+,∴C△EFG:C△COB=():()=5:1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,(n+1)個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△B(n+1)DnCn的面積為Sn,則Sn=____(用含n的式子表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD的對角線相交于O點,AC=5cm,DB=8cm,以O為圓心,以3cm的長為半徑作⊙O,則點A在⊙O______, 點B在⊙O______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)
B. 如果兩個數(shù)的絕對值相等,那么這兩個數(shù)相等
C. 如果一個數(shù)是負數(shù),那么這個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)
D. 絕對值越大,這個數(shù)就越大
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)(a<0)的圖象與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D.若以BD為直徑的⊙M經(jīng)過點C.
(1)請直接寫出C,D的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)求拋物線的函數(shù)表達式;
(3)⊙M上是否存在點E,使得∠EDB=∠CBD?若存在,請求出所滿足的條件的E的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】方程3x2-4x-1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為( )
A. 3和4 B. 3和-4 C. 3和-1 D. 3和1
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