Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=﹣ ．
①求點D的坐標及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標是（3，1），

根據(jù)題意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x；

②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，

∴C（ ，1），

∵C、D兩點的縱坐標都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設(shè)P的坐標為（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）當P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P點的坐標為（ ， ）；

（Ⅱ）當P在x軸的下方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P點的坐標為（ ，﹣ ）；

綜上，在拋物線上是否存在點P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB與∠BCD互余

（2）解：如圖3，

∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則點Q在x軸的上、下方各有兩個．

（i）當點Q在x軸的下方時，直線OQ與拋物線有兩個交點，滿足條件的Q有2個；

（ii）當點Q在x軸的上方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點在y軸的負半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，點Q在x軸的上、下方各有兩個，

（i）當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個；

（ii）當點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才兩個．

根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時直線OQ的斜率為﹣ ，則直線OQ的解析式為y=﹣ x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）

綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣ 或a＞ ．

【解析】（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，先依據(jù)AAS證明△AOB≌△BFD，從而可得到D的坐標，然后將點D的坐標代入到拋物線的解析式求解即可；②先證得CD∥x軸，故此可得到∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標為（x，-x2+x），分為P在x軸的上方，P在x軸的下方兩種情況畫出圖形，過P作PG⊥x軸于點G，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列比例式求解即可；
（2）如果使得符合條件的Q點的個數(shù)是4個，那么當a＜0時，拋物線交于y軸的負半軸，當a＞0時，最小值得＜-1，接下來，解關(guān)于a的不等式即可.