Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，線段OA，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x²﹣12x+36=0的兩根，BC=4，∠BAC=45°．

（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

（2）反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求k的值；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并直接寫(xiě)出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 解：（1）解一元二次方程x²﹣12x+36=0，解得：x₁=x₂=6，

∴OA=OC=6，

∴A（﹣6，0），C（6，0）；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

設(shè)BE=x，

∵BC=4，

∴CE=，

∵AE+CE=OA+OC，

∴x+=12，

整理得：x²﹣12x+32=0，

解得：x₁=4（不合題意舍去），x₂=8

∴BE=8，OE=8﹣6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入y=，得k=16．

（3）存在．

如圖2，若點(diǎn)P在OD上，若△PDB∽△AOP，

則，

即

解得：OP=2或OP=6

∴P（0，2）或P（0，6）；

如圖3，若點(diǎn)P在OD上方，△PDB∽△AOP，

則，

即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如圖4，若點(diǎn)P在OD上方，△BDP∽△AOP，

則，

即，

解得：OP=4+2或OP=4﹣2（不合題意舍去），

∴P（0，4+2）；

如圖5，若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，△PDB∽△AOP，

則，即，解得：OP=﹣4+2或﹣4﹣2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2﹣4）或（0，4+2）（不合題意舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，2﹣4）．