Question

（1）問題

如圖1，在四邊形ABCD中，點為上一點， ．

求證：AD·BC=AP·BP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點為上一點，當(dāng)時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．

（3）應(yīng)用

請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠CPD=∠A．設(shè)點P的運動時間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，

DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

Answer 1

（1）證明：如圖1

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠A PD=90°．

∠BPC+∠APD=90°．

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△ BPC．

∴．

∴ADBC=APBP ．

(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立.

理由：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，

又∵∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠A+∠ADP =∠DPC+∠BPC．

∵∠DPC=∠A=  ，

∴∠BPC=∠ADP．

又∵∠A=∠B=，

∴△ADP∽△ BPC．

∴．

∴ADBC=APBP．

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E．

∵AD=BD=5，

∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4.

∵以D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC＝DE＝4，

∴BC＝5－4＝１．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B．

由已知，∠CPD=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的經(jīng)驗可知ADBC=APBP .

又AP＝t，BP＝6－t，

∴t（6－t）＝5×１．

解得t_１＝１，t_２＝5．

∴t的值為1秒或5秒．