Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一動點（不與點A、B重合），D是半圓ADB中點，C、D在直徑AB的兩側(cè)．
（1）過點C作⊙P的切線交DB的延長線于E，當∠BAC=30°時，求證：BC=CE．
（2）若在⊙0內(nèi)存在點P，使得AP=AD，CB=CP．
①證明：AC²+CP²=2AP²
②當△ACP是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先由弦切角定理得出∠BCE=30°，再證明△ADB是等腰直角三角形，得出∠BAD=45°，則∠CAD=75°．由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠CBE=∠CAD=75°，則在△BCE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠E=75°，根據(jù)等角對等邊證明出BC=CE；
（2）①先由圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得AC²+BC²=AB²，由CB=CP，得出AC²+CP²=AB²．又△ADB是等腰直角三角形，則AB²=2AD²，再由AP=AD，得到AB²=2AP²，進而證明出AC²+CP²=2AP²；
②先由AC²+CP²=2AP²，根據(jù)勾股定理可知AP不可能為斜邊，則分兩種情況進行討論：（Ⅰ）AC為斜邊；（Ⅱ）CP為斜邊．

解答：（1）證明：∵CE是⊙P的切線，∠BAC=30°，
∴∠BCE=∠BAC=30°．
∵AB是⊙O的直徑，D是半圓ADB中點，
∴△ADB是等腰直角三角形，∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+45°=75°．
∵四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CBE=∠CAD=75°，
∴∠E=180°-∠BCE-∠CBE=180°-30°-75°=75°，
∴∠E=∠CBE=75°，
∴BC=CE；

（2）①證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵CB=CP，∴AC²+CP²=AB²．
∵△ADB是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∵AP=AD，∴AB²=2AP²，
∴AC²+CP²=2AP²；

②解：∵AC²+CP²=2AP²，
∴當△ACP是直角三角形時，AP不可能為斜邊，所以分兩種情況：
（Ⅰ）當AC為斜邊時，則AP²+CP²=AC²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+CP²+CP²=2AP²，∴AP²=2CP²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4CP²=4BC²，∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°；
（Ⅱ）當CP為斜邊時，則AP²+AC²=CP²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+AC²=2AP²-AC²，∴AP²=2AC²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4AC²，∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°，∴∠AOC=60°．
綜上可知，∠AOC為120°或60°．

點評：本題是圓的綜合題，其中涉及到弦切角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，圓周角定理等知識，綜合性較強，有一定難度，進行分類討論是解決最后一問的關(guān)鍵．