Question

如圖，△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，BD平分∠ABC．
（1）圖中有

3

個(gè)等腰三角形；
（2）求BC的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠C=72°；然后由角平分線的性質(zhì)求得∠ABD=∠DBC=36°，則∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．所以根據(jù)等腰三角形的判定進(jìn)行解題；
（2）設(shè)BC=x．依題意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．通過(guò)相似三角形△BCD∽△ABC的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

BC

AB

=

CD

BC

，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可求得x的值，即BC的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖，∵△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，
∴∠ABC=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．
∴AD=BD，BD=BC，
∴圖中的等腰三角形是：△ABC，△ABD，△BCD．共有3個(gè)．

（2）設(shè)BC=x．依題意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．
顯然△BCD∽△ABC，
∴

BC

AB

=

CD

BC

，
∴

x

a

=

a-x

x

，即x²+ax-a²=0
解得x1=

5 -1

2

a，x1=

- 5 -1

2

a（舍去），故BC=

5 -1

2

a．
故答案是：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定．注意“三角形的內(nèi)角和等于180°”是隱含在題干中的已知條件．