Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過(guò)頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得

解得，

拋物線的解析式為y=-x²-2x+3

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）

（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D,  過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E.

        

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°.  又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1.  又∵∠CED=∠DOA =90°，

∴△CED ∽△DOA，

∴.

設(shè)D（0，c），則. 

變形得，解之得.

綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形. 

（3）①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)（如圖①），

 只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.

延長(zhǎng)CP交x軸于M，∴AM=CM，  ∴AM²=CM².

設(shè)M（m，0），則( m+3)²=4²+(m+1)²，∴m=2，即M（2，0）.

設(shè)直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，

則， 解之得，.

∴直線CM的解析式.

，

解得， (舍去).

.           

∴.

 ②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖②），

 只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.

過(guò)A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N.

      由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得.

      ∴, 點(diǎn)F坐標(biāo)為（-5,1）.

設(shè)直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則，解之得.

∴直線CF的解析式. 

，

解得，  (舍去).

 

∴.   

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或 

【解析】分析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．

（3）首先求出直線CM的解析式為，再利用聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．