Question

如圖，邊長為9的等邊△ABC中，有一個小的等邊△DEF，其中D，E，F(xiàn)三點分別在AF，AC，BC上，且BF：CF=1：2，則等邊△DEF的邊長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠B=∠C=∠DFE=60°，求出∠BAF=∠CFE，推出△BAF∽△CFE，求出CE，過E作EH⊥BC于H，求出EH，根據(jù)勾股定理求出EF即可．

解答：解：∵等邊三角形ABC的邊長是9，BF：CF=1：2，
∴BF=3，CF=6，
∵△ABC和△DEF是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠DFE=60°，
∴∠BAF+∠AFB=180°-60°=120°，
∠AFB+∠CFE=120°，
∴∠BAF=∠CFE，
∵∠B=∠C，
∴△BAF∽△CFE，
∴

AB

BF

=

CF

CE

，
∴

9

3

=

6

CE

，
∴CE=2，
過E作EH⊥BC于H，
則∠EHC=∠EHF=90°，
∵∠C=60°，
∴∠HEC=30°，
∴CH=

1

2

CE=

1

2

×2=1，由勾股定理得：EH=

22-12

=

3

，
∴FH=6-1=5，
在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF=

52+( 3 )2

=2

7

，
即等邊△DEF的邊長為2

7

，
故答案為：2

7

．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應用，關鍵是求出FH和EH的長．