Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線對稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，點(diǎn)E為直線BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，問是否存在點(diǎn)E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）存在滿足條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1），理由見解析

【解析】

（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式y=a(x-2)2-1（a≠0），把C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，可求得a的值，進(jìn)而求得拋物線解析式；

（2）根據(jù)題意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，可知DF∥x軸，則可求得E點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入直線BC解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，可知：點(diǎn)F在直線AD上，求出直線AD解析式，聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入直線BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），

∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），

把C（0，3）代入可得：a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，

∴拋物線解析式為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；

（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，

∴A（1，0），B（3，0），

設(shè)直線BC解析式為y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，

由（1）可知拋物線的對稱軸為：直線x＝2，此時(shí)y＝﹣2+3＝1，

∴D（2，1），

∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，

∵AD2+CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

由題意知EF∥y軸，則∠FED＝∠OCB≠90°，

∴△DEF為直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，

①當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標(biāo)相同，如圖1，

∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，

∵點(diǎn)F在拋物線上，

∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2±，

∵點(diǎn)E在直線BC上，

∴當(dāng)x＝2+時(shí)，y＝﹣x+3＝1﹣，

當(dāng)x＝2﹣時(shí)，y＝﹣x+3＝1+，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）；

②當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，且∠ADC＝90°，如圖2，

∴點(diǎn)F在直線AD上，

∵A（1，0），D（2，1），

∴直線AD解析式為y＝x﹣1，

∴直線AD與拋物線的交點(diǎn)即為F點(diǎn)，

聯(lián)立直線AD與拋物線解析式得：x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+3＝2，

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x+3＝﹣1，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（4，﹣1），

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為（2+，1﹣）或（2﹣，1+）或（1，2）或（4，﹣1）．

圖1 圖2