Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A、B在直線上，點(diǎn)C、D在直線上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

∠EAC+∠ACE=90° .

（1）請判斷與的位置關(guān)系并說明理由；

（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動時(shí)（不與點(diǎn)C重合）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）∥；（2）①當(dāng)Q在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，∠BAC=∠CQP +∠CPQ，②當(dāng)Q在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°.

【解析】（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，再由∠1+∠2=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)Q在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)；②當(dāng)Q在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)．

（1）∥．理由如下：

∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，

∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2(角平分線的定義)；

又∵∠1+∠2=90°(已知)，

∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°（等量代換）

∴∥（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

（2）①當(dāng)Q在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥．

∵∥（已證），

∴PE∥（同平行于一條直線的兩直線互相平行），

∴∠1=∠2，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

∠BAC=∠EPC，(兩直線平行，同位角相等)，

又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∴∠BAC=∠CQP +∠CPQ（等量代換）

②當(dāng)Q在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥．

∵∥（已證），

∴PE∥（同平行于一條直線的兩直線互相平行），

∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∠APE+∠EPC=180°（平角定義）

∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°．