Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線上，AC ⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.
（1）將△EFP沿直線向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP，BQ．猜想  BQ   與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。（直接寫出結(jié)論）
AP           BQ,AP           BQ；   （4分）
（2）將△EFP沿直線向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結(jié)AP，BQ．你認為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．（6分）

Answer 1

（1）BQ=AP，BQ⊥AP．
（2）關(guān)系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．間解析

試題分析：（1）延長BQ交AP于點M，根據(jù)等腰直角三角板的每一個銳角都是45°可得∠EPF=45°，然后求出∠CQP=45°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，即可證明BQ=AP，對應(yīng)角相等可得∠CBQ=∠CAP，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠CAP+∠AQM=90°，從而得到BQ⊥AP；
（2）延長QB交AP于點M，根據(jù)等腰直角三角板的每一個銳角都是45°可得∠EPF=45°，根據(jù)對頂角相等得到∠CPQ=45°，然后求出∠CQP=45°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)求出CQ=CP，然后利用邊角邊定理證明△BCQ與△ACP全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，即可證明BQ=AP，對應(yīng)角相等可得∠BQC=∠APC，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠PBM+∠APC=90°，從而得到BQ⊥AP．
點評：本題要求熟練掌握等腰直角三角形的兩直角邊相等，每一個銳角都是45°的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，題目不比較復(fù)雜但思路比較清晰，此類題目一般都是下一問繼續(xù)沿用第一問的證明思路進行求解．