Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=120°，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若PM+PN的最小值是1，則菱形ABCD的面積是

 

．

Answer 1

分析：本題作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，根據(jù)軸對(duì)稱性找出點(diǎn)P的位置，從而求出菱形的邊長(zhǎng)，然后分別求出菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：作M點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N，則與AC的交點(diǎn)P′即是P點(diǎn)的位置．
∵點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，當(dāng)PM+PN最小時(shí)P在AC的中點(diǎn)，
此時(shí)，AB=PM+PN=1，
∵∠ADC=120°，
∴△ABD是等邊三角形，
連接BD，則BD=AB=1，
AC=2MN=2

12-( 1 2 )2

=

3

，
∴菱形ABCD的面積為：

1

2

AC•BD=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
故答案是：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱--最短路線問題及菱形的性質(zhì)．正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．