Question

【題目】將拋物線c1： 沿x軸翻折，得到拋物線c2 ， 如圖1所示．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x2﹣

（2）

解：①如圖1，令﹣ x2+ =0，得x1=﹣1，x2=1

則拋物線c1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（1，0）．

∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．

同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．

當(dāng)AD= AE時(shí)，

（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m= ．

當(dāng)BD= AE時(shí)，

（﹣1+m）﹣（1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m=2．

故當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，m= 或2．

②存在．

理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．

依題意可得：M（﹣m， ），N（m，﹣ ）．

即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

∴OM=ON．

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），

∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

∴OA=OE

∴四邊形ANEM為平行四邊形．

∵AM2=（﹣m+1+m）2+（ ）2=4，

ME2=（1+m+m）2+（ ）2=4m2+4m+4，

AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，

若AM2+ME2=AE2，則4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，

∴m=1，

此時(shí)△AME是直角三角形，且∠AME=90°．

∴當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

【解析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線c2的表達(dá)式；（2）①求出拋物線c1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分當(dāng)AD= AE時(shí)，當(dāng)BD= AE時(shí)兩種情況討論求解；②存在．理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．根據(jù)矩形的判定即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�