Question

【題目】如圖，點P為反比例函數y=（x＞0）圖象上一點，以點P為圓心作圓，且該圓恰與兩坐標軸都相切．在y軸任取一點E，連接PE并過點P作直線PE的垂線與x軸交于點F，則線段OE與線段OF的長度可能滿足的數量關系式是 ．

Answer 1

【答案】OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2．

【解析】

試題分析：設以P為圓心的⊙P與兩坐標軸相切的切點分別為B，A，如圖，連接PB,PA，

利用P點在雙曲線y=（x＞0）圖象上且以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切，求出P點坐標，再利用△BPE≌△APF，分三種情況列出OE與OF之間的關系．∵點P在雙曲線y=（x＞0）上，以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切，PB=PA，∴P（1，1），又∵PF⊥PE，∴∠EPF=90°，∵∠BPE+∠EPA=90°，∵∠EPA+∠FPA=90°，∴∠FPA=∠BPE，在△BPE和△APF中，∴△BPE≌△APF，∴AF=BE.①當F在x軸的正半軸，且OF＞1時，則有OF﹣OA=OB+OE，即OF﹣1=1+OE，∴OF﹣OE=2；②當F在x軸的負半軸時，則有OF+OA=OE﹣OB，即OF+1=OE﹣1，∴OE﹣OF=2；③當F在x軸的正半軸，且OF＜1時，則有OA﹣OF=OE﹣OB，即1﹣OF=OE﹣1，∴OF+OE=2，綜上，線段OE與線段OF的長度可能滿足的數量關系式是：OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2，故答案為：OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2．