Question

已知拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點為A，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B（m，n），且AB=2．
（1）求m、b的值；
（2）如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且BO=．求拋物線所對應的函數(shù)關系式．（友情提示：請畫圖思考）

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點為A，
∴點A的坐標為（0，c），
∵點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B（m，n），且AB=2，
∴拋物線y=x²+bx+c的對稱軸方程為：x=±1，
∵拋物線y=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-，
∵b＞0，
∴拋物線y=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-1，
∴b=2，m=-2；

（2）如圖：①若A在x軸下方，可得：A（0，c），B（-2，c），
∵BO=，AB=2，
∴OA==4，
∴c=-4，
∴拋物線所對應的函數(shù)關系式為：y=x²+2x-4，
②若A在x軸上方，同理可得：c=4，
即拋物線所對應的函數(shù)關系式為：y=x²+2x+4，
此時頂點坐標為（-1，3），
∵拋物線的頂點位于x軸的下方，
∴舍去；
∴拋物線所對應的函數(shù)關系式為：y=x²+2x-4．
分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）與y軸的交點為A，即可求得點A的坐標，又由點A關于拋物線對稱軸的對稱點為B（m，n），且AB=2，即可得拋物線的對稱軸方程，又由拋物線y=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-與b＞0，即可求得b與M的值；
（2）由（1）可得：A（0，c），B（-2，c），然后分別從若A在x軸下方與若A在x軸上方去分析，根據勾股定理即可求得c的值，注意拋物線的頂點位于x軸的下方．
點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應用．此題難度較大，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的對稱性，注意勾股定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用．