【題目】已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),以AD為邊,在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE.
(1)當(dāng)AD平分∠BAC時(shí),如圖1,四邊形ADCE是 形;
(2)過(guò)E作EF⊥AC于F,如圖2,求證:F為AC的中點(diǎn);
(3)若AB=2,
①當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G,如圖3,求EG的長(zhǎng);
②點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),則點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為 .(直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)菱形;(2)證明見(jiàn)解析;(3)①EG;②2.
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ADCE為平行四邊形,證明AD=AE,根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論;
(2)證明△BAD≌△FAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AF,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB,證明結(jié)論;
(3)①作EF⊥AC于F,連接EC,根據(jù)勾股定理求出BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CG,根據(jù)勾股定理計(jì)算,得到答案; ②根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E'E'垂直平分AC,證明△E'AE'≌△BAC,得到E'E'=BC=.
解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,
∴∠BAC=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC=30°.
∵△ADE為等邊三角形,
∴∠DAE=60°,
∴∠EAC=30°,
∴∠EAC=∠ACB,∠DAC=∠ACB,
∴AE∥DC,AD=DC.
∵AE=AD,∴AE=CD,
∴四邊形ADCE為平行四邊形.
∵AD=AE,
∴平行四邊形ADCE為菱形.
故答案為:菱形;
(2)
在△BAD和△FAE中,
,
∴△BAD≌△FAE(AAS),
∴AB=AF,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,
∴AC=2AB,
∴AC=2AF,
∴F為AC的中點(diǎn);
(3)①如圖3,作EF⊥AC于F,連接EC,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,
∴AC=2AB=4,
∴BC2,
∵D為BC的中點(diǎn),
∴BDBC,
∴AD,
∵AF=FC,EF⊥AC,
∴EC=AE=AD,
∵EC=EA=ED,EG⊥DC,
∴CGCD,
∴EG;
②如圖4,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)E在E'處,點(diǎn)E'是AC中點(diǎn);
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)E在E'處,其中△ACE'是等邊三角形,
由(1)得:AE=CE,∴點(diǎn)E始終落在線段AC的垂直平分線上,
∴E'E'垂直平分AC,
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是從AC的中點(diǎn)E',沿著AC垂直平分線運(yùn)動(dòng)到E'處,
在△E'AE'和△BAC中,
,
∴△E'AE'≌△BAC(AAS),
∴E'E'=BC=2.
故答案為:2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解在校初中生閱讀數(shù)學(xué)文化史類書籍的現(xiàn)狀,隨機(jī)抽取了初中部部分學(xué)生進(jìn)行研究調(diào)查,依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成以下不完整的的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息解答下列問(wèn)題:
類別 | 人數(shù) | 占總?cè)藬?shù)比例 |
重視 | a | 0.3 |
一般 | 57 | 0.38 |
不重視 | b | C |
說(shuō)不清楚 | 9 | 0.06 |
(1)求表格中a,b,c的值,并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該校共有初中生2400名,請(qǐng)估計(jì)該校“不重視”閱讀數(shù)學(xué)文化史書籍的初中生人數(shù);
(3)若小明和小華去書店,打算從A,B,C,D四本數(shù)學(xué)文化史類書籍中隨機(jī)選取一本,請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表格的方法,求兩人恰好選中同一本書籍的概率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn),并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.如圖,拋物線C1與拋物線C2組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”,拋物線C1與拋物線C2與x軸有相同的交點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),與y軸的交點(diǎn)分別為A,B且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣3),拋物線C2的解析式為y=mx2+4mx﹣12m,(m>0).
(1)請(qǐng)你根據(jù)“月牙線”的定義,設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)口向下.“月牙線”,直接寫出兩條拋物線的解析式;
(2)求M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在第三象限內(nèi)的拋物線C1上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAM的面積最大?若存在,求出△PAM的面積的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2018鄭州模擬)冬季即將來(lái)臨,某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為300元、255元的A,B兩種型號(hào)的電熱扇,下表是近兩周的銷售情況:
銷售時(shí)段 | |||
銷售數(shù)量 | |||
A種型號(hào) | B種型號(hào) | 銷售收入 | |
第一周 | 2臺(tái) | 3臺(tái) | 1695元 |
第二周 | 5臺(tái) | 6臺(tái) | 3765元 |
(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤(rùn)銷售收入進(jìn)貨成本)
(1)分別求出A,B兩種型號(hào)電熱扇的銷售單價(jià);
(2)若超市準(zhǔn)備用不超過(guò)8100元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電熱扇共30臺(tái),求A種型號(hào)的電熱扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)?
(3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺(tái)電熱扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為2100元的目標(biāo)?若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD外以CD為底邊作等腰直角△CDE,連接BE,交CD于點(diǎn)F,則CF=___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】復(fù)課返校后,為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解“新型冠狀病毒”的防控知識(shí),某學(xué)校組織了一次關(guān)于“新型冠狀病毒”的防控知識(shí)比賽,從問(wèn)卷中隨機(jī)抽查了一部分,對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了分組統(tǒng)計(jì),并制作了表格與條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖):
分組結(jié)果 | 頻數(shù) | 頻率 |
.完全掌握 | 30 | 0.3 |
.比較清楚 | 50 | |
.不怎么清楚 | 0.15 | |
.不清楚 | 5 |
請(qǐng)根據(jù)上圖完成下面題目:
(1)總?cè)藬?shù)為 人, , .
(2)請(qǐng)求出n的值并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若全校有2700人,請(qǐng)你估算一下全校對(duì)“新型冠狀病毒”的防控知識(shí)“完全掌握”的人數(shù)有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】事業(yè)單位人員編制連進(jìn)必考,現(xiàn)一事業(yè)單位需招聘一名員工,對(duì)應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個(gè)方而進(jìn)行量化考核.甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表:
筆試 | 面試 | 體能 | |
甲 | 84 | 80 | 88 |
乙 | 94 | 92 | 69 |
丙 | 81 | 84 | 78 |
(1)根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分,從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序;
(2)該單位規(guī)定:筆試、面試、體能分分別不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例計(jì)入總分.根據(jù)規(guī)定,請(qǐng)你說(shuō)明誰(shuí)將被錄用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=,AC=5,tanA=2,D是BC中點(diǎn),點(diǎn)P是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△BPD沿PD折疊,折疊后的三角形與△PBC的重合部分面積恰好等于△BPD面積的一半,則AP的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,在等邊中,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn),交于點(diǎn),將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.則與的數(shù)量關(guān)系是_____,的度數(shù)為______.
(2)拓展探究:如圖2,在中,,,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn),交于點(diǎn),當(dāng)∠ADF=∠ACF=90°時(shí),求的值.
(3)解決問(wèn)題:如圖3,在中,,點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),直接寫出當(dāng)時(shí)的值.
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