Question

在△ABC中，AB=AC，D是線段BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，若∠BAC=30°，則∠DCE=______．
（2）設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β：
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B、C重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
②α+β=180°或α=β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．
解答：（1）解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=30°，
∴∠DCE=30°，
故答案為：30°；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α=β，理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；

（3）解：當(dāng)D在線段BC上時(shí)，α+β=180°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，α=β．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目比較典型，是一道證明過(guò)程類似的題目．