Question

【題目】在銳角中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的度數(shù)；

（2）如圖2，連接，．若的面積為4，求的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得；

（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，從而可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)相似三角形的判定定理得出，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得；

（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確認(rèn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、垂線段最短確認(rèn)最小時(shí)，點(diǎn)的位置，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)值、線段的和差求解即可．

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，

∴

∴

故的度數(shù)為；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

∴，，

∴，

∴

∴

∴

∵

∴

故的面積為；

（3）如圖，在繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑的圓上

由點(diǎn)與圓的關(guān)系可知：當(dāng)點(diǎn)在BA（或BA的延長(zhǎng)線）與圓B的交點(diǎn)處，取得最小值，最小值為

因此，取得最小值時(shí)，長(zhǎng)度也最小

由垂線段最短得：點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，BP取得最小值，最小值為

則所求的線段長(zhǎng)度的最小值為．