Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、B分別在x，y軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點(diǎn)C，AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象過(guò)CD的中點(diǎn)E．

（1）求證：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，其中點(diǎn)F在y軸上，是判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵點(diǎn)A、B分別在x，y軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸，

∴∠AOB=∠DCA=90°，

在Rt△AOB和Rt△DCA中

，

∴Rt△AOB≌Rt△DCA

（2）

解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，

∴AC= =1，

∴OC=OA+AC=2+1=3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），

∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1），

∴k=3×1=3；

（3）

解：點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：

∵△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，

∴△BFG≌△DCA，

∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，

而OB=AC=1，

∴OF=OB+BF=1+2=3，

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），

∵1×3=3，

∴G（1，3）在反比例函數(shù)y= 的圖象上．

【解析】（1）利用“HL”證明△AOB≌△DCA；（2）先利用勾股定理計(jì)算出AC=1，再確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1），則可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得k=3；（3）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，則可得到G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷G點(diǎn)是否在函數(shù)y= 的圖象上．