Question

【題目】定義：如圖①，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上(P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合)．如果△ABP的三邊滿足AP2＋BP2＝AB2，則稱點(diǎn)P為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出拋物線y＝－x2＋1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)．

(2)如圖②，已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1， )是拋物線的勾股點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)Q在拋物線上，求滿足條件S△ABQ＝S△ABP的Q點(diǎn)(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(0，1)(2) y＝-x(x-4)＝-x2＋x(3)滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè)，分別為(3， )或(2＋，－ )或(2－，－ )．

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線勾股點(diǎn)的定義可以求解,(2)作PG⊥x軸,由點(diǎn)P的坐標(biāo)求得:AG=1,PG=,由三角函數(shù)可得: ,可知∠PAG=60°從而求得AB=4,即B(4,0),待定系數(shù)法可求解得,(3)由且兩個(gè)三角形同底,可知點(diǎn)Q到x軸的距離為,即可求解.

(1)拋物線y＝－x2＋1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)．

(2)如圖，作PG⊥x軸于點(diǎn)G.∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)，∴AG＝1，PG＝，∴PA＝＝＝2.∵tan∠PAB＝＝，∴∠PAG＝60°.在Rt△PAB中，AB＝＝＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．

設(shè)y＝ax(x－4)，將點(diǎn)P(1，)代入得a＝－，∴y＝－x(x－4)＝－x2＋x.

(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，由S△ABQ＝S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，則有－x2＋x＝，解得x1＝3，x2＝1(不符合題意，舍去)，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，)．

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，由S△ABQ＝S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為－，則有－x2＋x＝－，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2＋，－)或(2－，－)．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q有3個(gè)，分別為(3，)或(2＋，－)或(2－，－)．