Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩實數(shù)根．
（1）若（x₁-1）（x₂-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,三角形三邊關系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7為底邊和7為腰兩種情況分類討論即可確定等腰三角形的周長．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩實數(shù)根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=m²+5-2（m+1）+1=28，
解得：m=-4或m=6；
當m=-4時原方程無解，
∴m=6；

（2）①當7為底邊時，此時方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=4（m+1）²-4（m²+5）=0，
解得：m=2，
∴方程變?yōu)閤²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
∵3+3＜7，
∴不能構(gòu)成三角形；
②當7為腰時，設x₁=7，
代入方程得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=10或4，
當m=10時方程變?yōu)閤²-22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能組成三角形；
當m=4時方程變?yōu)閤²-10x+21=0，
解得：x=3或7，
此時三角形的周長為7+7+3=17．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟知兩根之和和兩根之積分別與系數(shù)的關系．